大家经常听到一句话：天下没有免费的午餐。

　　在金融投资中，对这句话的理解就是，要想获得更高收益，就需要承担更高的风险，也就是常说的高风险高收益，低风险低收益。例如，股票就比债券风险高，但收益也高。

　　今天给大家介绍的恰恰就是一个免费午餐：多元化投资，也称为分散化投资。这个免费午餐可以让你收益提高的同时，风险也降低。

　　分散化投资的形象说法是：“鸡蛋不要放到一个篮子里”。这句话有什么科学依据呢？要想理解它，还得稍微了解点数学知识。看懂下面这7个概念，也就懂了为什么有免费午餐了。

　　1. 风险与标准差

　　收益很好理解，咱们主要看什么是风险。在金融学中，风险是指不确定性。

　　比如说，你买了1年期的国债，约定收益是5%，那么1年后你必定会获得回报5%，既不会多一点，也不会少一点，这种投资就是无风险的。

　　再比如，你通过长期统计发现，股票的长期平均收益是10%，但回报非常不稳定。碰到好的年份，回报可能是50%，碰到不好的年份，回报可能是-30%。这10%的收益，并不是一定能拿到的，具有不确定性，这就是风险。

　　对于有风险的投资来说，最终的收益是随机的。上例中的10%叫做期望收益，是指经过多次投资之后，平均意义上的收益。

　　在统计学里，常用标准差来度量不确定。标准差越大，则表示不确定性越大，最终的收益越有可能偏离期望收益。最常见的随机分布就是正态分布，也叫高斯分布。下图就是2个均值相同，但标准差不同的高斯分布概率密度函数图。可以看出，标准差小的更集中一些，标准差大的更为分散。也就是说标准差越小，不确定性越小；反之，标准差越大，不确定性越大。

　　2. 标准差与收益

　　对于高斯分布，一次抽样落入1倍标准差内的概率是68%，落入2倍标准差内的概率是95%，落入3倍标准差内的概率是99.7%。

　　比如说，某个投资品种回报服从高斯分布，期望收益为10%，标准差为5%。那么就可以说，最终回报在5%到15%的概率为68%，亏损的概率(低于2倍标准差)为2.5%，亏损5%以上的概率(低于3倍标准差)为0.15%。

　　3. 高风险高收益的经济学解释

　　在经济学理论中，假设人都是理性的。也就是说，人们都愿意获得高收益，但不愿意承担高风险。面对风险相同的投资品种，人们选择收益高的。面对收益相同的投资品种，人们选择风险低的。

　　比如有3个投资品种：

　　A:期望收益8%，标准差12%

　　B:期望收益13%，标准差20%

　　C:期望收益8%，标准差20%

　　A与C比起来，期望收益相同，但风险更小，所以理性人都会选择A而不是C。

　　B与C比起来，风险相同，但期望收益更高，所以理性人都会选择B而不是C。

　　至于A和B，则是见仁见智。保守型投资者可以选择A品种，图个安心。激进型投资者可以选择B品种，在承担更高风险的情况下博取高收益。

　　4. 利用投资组合进一步降低风险

　　假设我们手头有一部分资金，可选的投资品种有A和B，我们可以自由分配资金的投向比例。对于保守型投资者，把所有的资金全部投在A上，是正确的选择吗？

　　利用一些简单的概率论计算公式，可以计算出组合后的期望收益和风险：

　　更换一种组合比例，便得到一个点。将所有的点连起来，画图后发现：竟然能获得比A的风险更小的组合，而且收益却更高！在整条线上，M是风险最小的组合。假设M是由40%的A和60%的B组成，这样组合，比全部拿A的风险更低，但收益更高。通过资产组合，既提高了收益，又降低了风险，这就是我们的免费午餐！

　　5. 相关性对投资组合的影响

　　投资品种的相关性对投资组合也有影响，相关性越低，则降低风险的作用越强。当投资品种完全正相关时，投资组合很难进一步降低风险。当投资组合完全负相关时，甚至可以获得无风险收益。

　　比如说，买入2只银行类股票，那基本上分散不了多少风险，因为银行的同质化比较严重，同涨同跌，所以和买入1只银行股的效果差不多。

　　但如果买入1只石油类公司的股票，再买入1只航空类公司的股票，就可以大大降低风险了。因为油价涨时，航空类公司成本上升不赚钱，但石油类公司赚钱；油价跌时，石油类公司不赚钱，但航空类公司开始赚钱。这样的组合，就会使总风险降低很多。

　　6. 有效前沿线

　　从上图可以看出，从A和M这一段是没有意义的，因为可以在从M到B这一段上找到相同的风险水平下的更高收益组合。从M到B这一段就叫做有效前沿线。

　　如果可以选择的资产不止2个，而是有3个或以上，那么这些无穷多种组合就不是连成一条线了，而是组成一个平面。这个平面的最上沿，可以在承担相同风险情况下，获得更高的收益。所以只有这条线上的组合是有意义的，这条线也有效前沿线。

　　7. 资本市场线

　　保守型投资者可以在有效前沿线的左边选投资组合，激进型投资者可以再有效前沿线的右边选择投资组合。

　　对于保守型投资者，有没有进一步降低风险的可能性呢？

　　对于激进型投资者，有没有进一步提高收益的的可能性呢？

　　答案是：有的。

　　把市场上的无风险收益品种(例如国债，标准差为0)拿进来，也加入到投资组合中。任何投资品种和无风险品种组合都是一条直线。如果一条直线经过无风险收益点，并且与有效前沿线相切，那么这条直线的任何点都比有效前沿线更优。也就是说，在承担相同风险的情况下，可以获得更高的收益。如果可以以无风险利率从市场上借到钱，那么这条直线就可以延伸到切线以外，获得更高的收益。这条直线叫做资本市场线。

　　在图中，P是有效前沿线与资本市场线的切点，也是最优投资组合。将最优投资组合与无风险收益品种结合起来，不同风险偏好的人，可以获得不同的收益。P1为保守型投资组合，大部分资金放在无风险收益上，小部分分配在最优投资组合上。P2为激进型投资组合，从市场借钱投资到最优投资组合上，在承担高风险的情况下获得更高的回报。

　　8. 结束语

　　上面的内容大部分是由美国经济学家马克维茨提出的，称为现代投资组合理论，他也因此获得了诺贝尔经济学奖。最后一部分内容是由美国经济学家夏普等人提出的，称为资本资产定价模型。

　　现代投资组合理论和资本资产定价模型目前已经广泛的应用到了投资决策和资产配置中。以哈佛大学捐赠基金为例，它管理着超过350亿美元的资产，2016年资产配置情况为：美国股票10.5%，其他发达国家股票7%，新兴市场股票11.5%，私募20%，对冲基金14%，房地产14.5%，自然资源10%，国内债券9%，国外债券1%，抵通胀债券2%，高收益债券0.5%。

　　大家可能也听说过咱们国家养老金要进入股市的情况，有些人可能也会担心国家把养老金炒股给亏光。其实不用担心，养老金投资股市的比例还是比较低的，主要是起一个多元化投资的作用，最终组合后的风险比原来单一持有债券还要低。

　　俗话说，东边不亮西边亮。当您的投资品种过于单一时，是不是也考虑一下多元化投资这个免费午餐呢？（转载自微信公众号：概率思维做投资）